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Cali, marzo 21 de 2020
Apreciados estudiantes.
Cordial saludo.
Les informo que por disposición de Santa Isabel de Hungría, el día de hoy los docentes iniciamos período de vacaciones, por tal razón el plazo para la entrega de las actividades se extiende hasta el 20 de abril.
Mil gracias.
se deben enviar al correo
ksegura@arquidiocesanos.edu.co
solo se recibira hasta el 24 marzo apartir de esta fecha no se
tendran en cuenta los trabajos. (material fotográfico del cuaderno)
OCTAVA SEMANA MARZO 23 AL 27:
FASE DE APERTURA:
A continuación conocerán el plano cartesiano sus funciones, historia y para que nos sirve.
FASE COGNITIVA:
¿Qué es el plano cartesiano?
Se llama plano cartesiano o sistema cartesiano a un diagrama de coordenadas ortogonales usadas para operaciones geométricas en el espacio euclídeo (o sea, el espacio geométrico que cumple con los requisitos formulados en la antigüedad por Euclides).
Se utiliza para representar gráficamente funciones matemáticas y ecuaciones de geometría analítica. También permite representar relaciones de movimiento y posición física.
Se trata de un sistema bidimensional, constituido por dos ejes que se extienden desde un origen hasta el infinito (formando una cruz). Estos ejes se interceptan en un único punto (que denota el punto de origen de coordenadas o punto 0,0).
Sobre cada eje se trazan un conjunto de marcas de longitud, que sirven de referencia para ubicar puntos, trazar figuras o representar operaciones matemáticas. O sea, es una herramienta geométrica para poner estas últimas en relación gráficamente.
El plano cartesiano debe su nombre al filósofo francés René Descartes (1596-1650), creador del campo de la geometría analítica. Historia del plano cartesiano
René Descartes creó el plano cartesiano en el siglo XVII.El plano cartesiano fue una invención de René Descartes, como hemos dicho, filósofo central en la tradición de Occidente. Su perspectiva filosófica se basó siempre en la búsqueda del punto de origen del conocimiento.
Como parte de esa búsqueda, realizó amplios estudios sobre la geometría analítica, de la cual se considera padre y fundador. Logró trasladar matemáticamente la geometría analítica al plano bidimensional de la geometría plana y dio origen al sistema de coordenadas que aún hoy utilizamos y estudiamos. ¿Para qué sirve el plano cartesiano?
Cada punto en el plano cartesiano puede representarse con un par ordenado de números (x, y).
Para trazar un punto de un par ordenado, parte del origen, el punto (0, 0), donde se cruza el eje de las x y el eje de las y. La primera coordenada indica las unidades que hay que desplazarse en x, a la izquierda o a la derecha; la segunda indica cuántas unidades hay que subir o bajar.
Ejemplo 1:
Las coordenadas permiten ubicar puntos en el plano cartesiano.El plano cartesiano es un diagrama en el que podemos ubicar puntos, basándonos en sus coordenadas respectivas en cada eje, tal y como hace un GPS en el globo terráqueo. De allí, también es posible representar gráficamente el movimiento (el desplazamiento de un punto a otro en el sistema de coordenadas).
Además, permite trazar figuras geométricas bidimensionales a partir de rectas y curvas. Estas figuras se corresponden con determinadas operaciones aritméticas, como ecuaciones, operaciones simples, etc.
Existen dos formas de dar resolución a esas operaciones: de forma matemática y luego graficarla, o bien podemos hallar una solución gráficamente, ya que existe una clara correspondencia entre lo que se ilustra en el plano cartesiano, y aquello que se expresa en símbolos matemáticos.
En el sistema de coordenadas, para ubicar los puntosnecesitamos dos valores: el primero correspondiente al eje horizontal X y el segundo al eje vertical Y, los cuales se denotan entre paréntesis y separados por una coma: (0,0) por ejemplo, es el punto en donde ambas líneas se cruzan.
Dichos valores pueden ser positivos o negativos, dependiendo de su ubicación respecto a las líneas que conforman el plano. Cuadrantes del plano cartesiano
Los ejes X e Y dividen el plano cartesiano en cuatro cuadrantes.Como hemos visto, el plano cartesiano se constituye por el cruce de dos ejes de coordenadas, o sea, dos líneas rectas infinitas, identificadas con las letras x (horizontal) y por otro lado y (vertical). Si las contemplamos, veremos que conforman una suerte de cruz, dividiendo así el plano en cuatro cuadrantes, que son:
Cuadrante I, en la región superior derecha, en donde pueden representarse valores positivos en cada eje de coordenadas. Por ejemplo: (1,1).
Cuadrante II, en la región superior izquierda, en donde pueden representarse valores positivos en el eje y pero negativos en el x. Por ejemplo: (-1, 1).
Cuadrante III, en la región inferior izquierda, en donde pueden representarse valores negativos en ambos ejes. Por ejemplo: (-1,-1).
Cuadrante IV, en la región inferior derecha, en donde pueden representarse valores negativos en el eje y pero positivos en el x. Por ejemplo: (1, -1).
EJEMPLOS:
NOTA: Cada punto que se traza en un plano cartesiano tiene dos valores asociados. El primer valor
representa el valor y el segundo valor representa el valor . Estos dos valores se
llaman coordenadas del punto y se escriben como el par ordenado .
Para trazar un punto en el plano cartesiano:
Empieza desde cero (el origen) y busca la coordenada en el eje .
Si la coordenada es positiva, muévete hacia la derecha del origen el número de
unidades que se muestran en la coordenada . Si la coordenada es negativa, muévete
hacia la izquierda del origen el número de unidades que se muestran en la coordenada .
Una vez que la coordenada ha sido localizada en el eje (también llamado el eje de
las abscisas), muévete verticalmente el número de unidades que se muestran en la
coordenada a través del eje (también llamado el eje de ordenadas). Si
la coordenada es positiva, muévete verticalmente hacia arriba desde la coordenada
antes marcada el número de unidades que se muestran en la coordenada . Si
la coordenada es negativa, muévete verticalmente hacia abajo desde la coordenada
antes marcada el número de unidades que se muestran en la coordenada .
Finalmente traza el punto.
EN EL SIGUIENTE ENLACE DEJO TUTORIAL PARA REFORZAR LO EXPLICADO ANTERIORMENTE:
Una ecuación puede
compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio
es necesario tener la misma masa en ambos lados.
Este
ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la
derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para
mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.
Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.
Debemos
saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones
multiplicativas.
· Las ecuaciones
aditivas tienen la forma a + x = b
· Las ecuaciones
multiplicativas tienen la forma a · x = b
1) Ecuaciones
aditivas:a + x = b
Para
resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la
Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las
igualdades, que textualmente dice:
Cuando se suma o resta el mismo número en
ambos miembros de una ecuación, la igualdad se mantiene.
Los pasos a seguir para encontrar
la incógnita son los siguientes:
1.
Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso
aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar que el
inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario (el inverso
aditivo de 6 es –6; el inverso aditivo de –99 es 99. Recuerda además que +99 es
lo mismo que 99).
2. Se realiza la operación
indicada.
Ejemplo:
28 + x = 13 / – 28
El número que acompaña a la
incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la
ecuación su inverso aditivo que es –28.
28 + x
+ – 28 = 13 + – 28
Como 28 y –28 tienen signo
contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse.
28 + –28 =
0
Como 13 y –28 son números
de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor
valor absoluto (el número sin signo).
13 + –28 =
–15
Por lo
tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:
28 + x =
13 / – 28
28 + x
+ – 28 = 13 + – 28
x +
0 = –15
x = –15
Otros ejemplos:
1)
60 – 37 = 84 + x
23
= 84 + x / – 84
23 + – 84 = 84 + x
+ – 84
– 61
= 0 + x
x
= –61
2)
x + 3 – 2 = 7
x + 1
= 7
x + 1
+ –1 = 7 + -1 / –1
x +
0 = 6
x
= 6
2) Ecuaciones
multiplicativas: a • x = b
Para resolver ecuaciones de la
forma a · x = b se aplica la propiedad de las
igualdades, que dice textualmente:
Si se multiplica o divide por un mismo número
a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.
Cuando se
tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a
la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.
Los pasos
son los siguientes:
1)
Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al
dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).
Ejemplo:
15 • x = 75 / :15 (es
lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso
multiplicativo de 15)
15 • x
: 15 = 75 : 15
2) Se
realizan las operaciones matemáticas correspondientes.
Reordenado
los números se tiene: 15 : 15 • x
= 75 : 15
1 • x
= 5
x
= 5
Otro
ejemplo:
3 • x =
81
3 • x =
81 / : 3
3 • x : 3
= 81 : 3
3 : 3 • x
= 27
1 • x
= 27
x = 27
¿Qué
sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa?
Ejemplo:
2x
+ 2 + 3 = 4x – 1
Para
resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las
operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la
ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.
Esto
significa sumar números con números y factores
literales con factores literales (letras iguales,
exponentes iguales); en este ejercicio esto significa sumar los números
con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro
ejemplo, a la izquierda se pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no
hay más términos semejantes
2x
+ 5 =
4x – 1 / –5
A continuación se
debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso
aditivo del número que suma o resta a la incógnita, en este caso se
debe sumar el inverso aditivo de 5 ( -5 ) a la izquierda y a la
derecha de la igualdad.
2x
+ 5 + –5 = 4x -
1 + –5
2x
+ 0 =
4x + –6
2x
= 4x + –6
Luego, debe sumarse el
inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la
derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con
“equis” podrán reducirse.
2x
= 4x + –6 / – 4x
2x
+ – 4x =
4x + –6 + – 4x
– 2x
= 4x + – 4x + –6
– 2x
= 0 + –6
– 2x
= –6
Cuando se
tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a
la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en
este caso se debe dividir por – 2. Fíjate
que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par
resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).
– 2x : – 2 = –6
: – 2
1x
= 3
x
= 3
Otro
ejemplo:
5x –
3 = 2x + 6
1)
Se suman o restan números con números y letras con letras en
cada miembro de la ecuación. Como no hay términos semejantes en este caso, se
continúa con el segundo paso.
5x – 3
+ + 3 = 2x + 6 + + 3 / +3
5x + 0 = 2x + 9
2)
Sumar el inverso aditivo (sumar a ambos lados de la ecuación el número que
resta o suma a la “x”)
5x
= 2x + 9
Ahora
falta sumar el inverso aditivo de 2x (-2x)
5x + – 2x = 2x + – 2x + 9 /–2x
3x = 0
+ 9
3x = 9
3)
Dividir a ambos lados de la ecuación por el número que acompaña a la
incógnita (3). Inverso multiplicativo.
3x
÷ 3 = 9 ÷ 3
3 ÷
3x = 9 /
3 (Recuerda que el símbolo de división, ÷, también se
puede representar como /).
x
= 3
Nota : Todas las ecuaciones vistas hasta ahora
son de Primer Grado (el exponente de la incógnita es 1) y
pertenecen al Conjunto de los Números Enteros (los
coeficientes numéricos son números positivos y negativos).
Unidad No.1: FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN DIFERENTES DOMINIOS NUMÉRICOS: 1. Operaciones combinadas. Unidad No. 2: RAZONES Y PROPORCIONES 1. Proporcionalidad directa. 2. Proporcionalidad inversa. 3. Aplicación de la proporcionalidad.
SEGUNDO PERIODO:
Unidad
No.1: EL CONJUNTO Y ORDEN EN LOS NÚMEROS RACIONALES
1. Operaciones básicas con los números
racionales.
2. Otras operaciones con el conjunto de los
números racionales.
3. Expresiones aritméticas con números
racionales.
4. Ecuaciones en el conjunto de los números
racionales.
Unidad
No. 2: CONCEPTOS BÁSICOS DE POLÍGONOS
1. Congruencia y semejanza.
Unidad
No. 3: TRANSFORMACIONES RÍGIDAS
1. Traslaciones,
rotaciones, reflexiones.
PRIMER PERIODO
Unidad No.1: EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS 1. Expresiones aritméticas con números enteros. 2. Ecuaciones en el conjunto de los números enteros. Unidad No. 2: SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN CARTESIANA 1. Construcción de figuras en el plano cartesiano
